基于热激活晶体塑性有限元与疲劳指示因子极值统计的晶粒尺寸、长宽比及晶体织构对TA15钛合金疲劳裂纹萌生行为与疲劳寿命分散性的调控机制研究

TA15钛合金因其高比强度、优良的耐热性和出色的疲劳性能，在航空航天承力结构中得到广泛应用 [1−3]。飞行器服役期间，构件普遍承受复杂的循环载荷，其疲劳裂纹往往在晶粒尺度的局部区域萌生，因此材料的微观组织特征对疲劳响应及疲劳寿命分散性具有决定性影响 [4]。对于钛合金而言，晶粒尺寸、晶粒形状、相组成以及织构的不同都会影响位错在晶粒内部以及晶粒之间的运动，导致局部应力应变分布不均匀程度的不同，最终影响疲劳裂纹萌生位置 [5−6]。

晶体塑性有限元(crystal plasticity finite element method, CPFEM)是一种将晶体塑性理论嵌入有限元框架的多尺度计算力学方法，通过模拟材料在晶粒尺度上的塑性变形，能够描述晶粒取向、滑移系激活、晶界交互等微观因素对金属材料的力学响应的影响。近年来，晶体塑性有限元在研究金属的微观塑性变形机理 [7−9]、多晶材料力学性能预测 [10−12]、损伤与失效机制 [13−15]和先进制造工艺优化 [16−18]等领域广泛应用。针对疲劳问题，研究者们引入疲劳指示因子(fatigue indicator parameters, FIP)进行疲劳行为的定量分析，对疲劳裂纹萌生进行准确预测 [19−20]。考虑到多晶有限元模型的分散性，研究者们进一步引入极值理论对疲劳指示因子的极值分布进行统计分析，从而量化疲劳寿命分散性，还可定量评估各类因素对疲劳寿命分散性的贡献。Gu等 [21]晶体塑性有限元模型数量对极值分析结果的影响，指出100个模型即可稳定估计Gumbel分布参数，并通过1000个有限元模型模拟验证了预测可靠性。Przybyla等 [22]为研究IN100合金的高循环疲劳微观结构敏感性，使用基于Fatemi-Socie准则的疲劳指示因子，实现了200个有限元模型的疲劳指示因子极值的Gumbel分布拟合，并通过模拟验证了立方滑移在疲劳裂纹形成中的潜在作用。Zheng等 [23]为研究缺口件的缺口尺寸导致的疲劳分散差异，提出了以应力梯度影响因子、等效应力与纵向应变为变量的统计标准差作为疲劳指示因子，实现了不同位移载荷、载荷比和缺口直径下的缺口疲劳分散性预测。Yang等 [24]为研究TC4钛合金高循环疲劳寿命分散性，基于CPFEM和疲劳指示因子实现了不同应力水平下疲劳寿命分散性的量化评估，并通过模拟验证了载荷降低导致寿命更长且更分散的规律。

这些工作表明，CPFEM结合极值统计是研究疲劳分散性的有力工具，而目前金属材料疲劳分散性的研究仍多集中于实验研究。同时，针对TA15钛合金的研究主要也是通过调控工艺参数和热处理路线改变微观组织，并进一步通过试验评估性能差异。但仅靠工艺调控难以系统覆盖参数空间，且试验成本高、周期长，难以获得足够的数据来量化晶粒尺寸、长宽比与织构等因素对疲劳分散性的影响。

基于以上认识，本研究以TA15钛合金为研究对象，搭建热激活晶体塑性本构模型，结合疲劳指示因子的极值统计分析，系统研究晶粒尺寸、长宽比和织构对TA15钛合金疲劳裂纹萌生和疲劳分散性的影响，揭示微观结构控制疲劳行为随机性的内在机制，以期与相关实验研究形成互补，为TA15合金的组织优化与可靠疲劳寿命预测提供更具机制性、效率更高的研究途径。

1、有限元计算框架

1.1　晶体塑性本构模型

在连续介质力学中，材料变形梯度张量 F可被分解为弹性部分 F e 和塑性部分 F p ，其表达式为

当外力达到临界值时，晶体通过特定滑移系的位错运动产生塑性变形。因此，晶体塑性理论引入滑移率，以便从介观尺度描述晶体内的位错运动。与 F p 相关的塑性速度梯度 L p 可以用晶体中第 α个滑移系的滑移率 γ ˙   (α)表示为

式中： n为激活滑移系的总数量； m (α)和 n (α)分别为第 α个滑移系的滑移方向和滑移面矢量； 为张量积运算符。

使用第 α个滑移系的分切应力 τ (α)作为状态变量，建立忽略反向位错跃迁的热激活流动准则 [25]：

式中： γ ˙   0 为参考滑移率； ΔF为亥姆霍茨自由能； K B 为晶格玻尔兹曼常数，取值 1.380 649 ×  10 −23 J/K； T为开尔文温度； p和 q为敏感系数； χ (α)为第 α个滑移系的背应力，表示滑移面上方向性位错滑移阻力； τ c (α) 为第 α个滑移系的临界分切应力，表示滑移面上各向同性位错滑移阻力。

背应力会伴随位错攀移、湮灭等行为发生回复作用，降低内应力势，体现为内变量演化方程中具有负反馈作用的回复项。使用Armstrong–Frederick模型 [26]描述背应力带来的硬化作用为

式中： h为硬化参数； h D 为动态恢复参数。

由于晶体中存在多个独立滑移系，不同滑移系之间存在相互作用，第 β个滑移系会影响第 α个滑移系的硬化行为，即有

式中， h αβ 为硬化模量，其数学表达式为

式中： q αβ 为自硬化与潜在硬化的强度系数； h 0 为初始硬化模量； τ s 为饱和滑移阻力； a为硬化系数。

1.2　疲劳指示因子

在塑性变形过程伴随着不可逆的能量耗散。在载荷循环中，局部区域由于持续的塑性滑移会耗散更多的能量。这种塑性应变能可以认为是驱动疲劳损伤演化的直接动力。通过计算并定位高应变能耗散区域，可以更准确地推测出疲劳裂纹最可能萌生的位置。选取应变能耗散作为疲劳指示因子进行后续研究，其表达式为

2、有限元模型

2.1　有限元模型与边界条件

使用商用有限元分析软件ABAQUS的UMAT子程序可以实现晶体塑性本构模型和 FIP w 的计算。针对所使用的TA15钛合金进行了电子背散射衍射分析，获取真实微观结构的统计性表征数据以建立代表体积单元(representative volume element, RVE)模型，可以准确捕捉材料微观结构特性带来的局部变形行为。所用TA15钛合金相组成中 α相约占99.2%，忽略 β相，将 α-Ti晶粒简化为拟合椭圆进行统计性表征，如图所示。晶粒的平均拟合椭圆长轴为 3.2 μm，平均长宽比为4.2，晶粒取向分布存在明显织构。

基于晶粒尺寸统计数据，使用开源程序DREAM.3D生成 20 μm ×  20 μm ×  20 μm多晶RVE模型，对每个晶粒赋予欧拉角表示的晶粒取向信息。模型选用六面体八节点线性减缩积分单元(C3D8R)，边界条件如图所示， xOz面限制沿 y轴的平动和绕 x轴、 z轴的转动，即 U y   =  UR x   =  UR z   =  0； yOz面限制沿 x轴的平动和绕 y轴、 z轴的转动，即 U x   =  UR y   =  UR z   =  0； xOy面限制沿 z轴的平动和绕 x轴、 y轴的转动，即 U z   =  UR x   =  UR y   =  0；沿 y轴施加单轴拉伸载荷，其余未约束表面允许自由变形，以反映多晶协调变形的自然响应。

2.2　材料参数标定

晶体塑性本构模型的参数是在相关文献的基础上 [27]，通过TA15静力拉伸的实验结果与数值模拟结果相对比的试错法得到。静力拉伸实验获取的所用TA15钛合金力学性能如表1所示。

表1　TA15钛合金力学性能 Table 1 Mechanical performance of TA15 titanium alloy

临界分切应力作为关键的微观参量，其取值决定了各滑移系的启动难度。有研究表明，HCP结构的柱面滑移系激活最容易，临界分切应力与基面滑移系相差不大，锥面滑移系激活最困难 [28]。这里对临界分切应力的取值准则是保持柱面滑移系的临界分切应力值最小，锥面滑移系的临界分切应力值最大。

通过试错法得到的晶体塑性本构模型参数如表2所示， α-Ti的滑移系组成及对应的临界分切应力如表3所示。使用这些参数进行TA15的静力拉伸数值模拟，图为RVE模型的应力云图，可以发现受微观结构各向异性的影响，微观尺度下的应力应变是不均匀的，需进行均质化处理。提取所有单元积分点 y轴方向的正应力和正应变进行体积加权平均，就可得到单轴拉伸宏观均质化应力应变，计算公式为

式中： σ ˉ ij 、 ε ˉ ij 分别为宏观均质化应力张量和宏观均质化应变张量， i, j =  1, 2, 3； σ ij 、 ε ij 分别为微观应力张量和微观应变张量； V为材料总体积。

如图所示，数值模拟的宏观应力应变曲线与TA15静力拉伸实验所得数据吻合良好。

表2　TA15钛合金的晶体塑性本构模型参数 Table 2 Crystal plasticity constitutive model parameters for TA15 titanium alloy

（注：表中 q αβ 栏原文排版紧邻 a栏，此处按原文结构保留）

表3　 α-Ti的滑移系组成及对应的初始临界分切应力 Table 3 Slip system composition of  α-Ti and initial critical resolved shear stress

3、极值统计分析

3.1　极值理论

在疲劳分析中，关注的并非是材料的整体平均响应，而是其在微观尺度上最危险的、可能引发疲劳裂纹萌生的局部极端响应，即关注疲劳指示因子的最大值。疲劳裂纹的萌生往往由疲劳指示因子的最大值所主导。金属在微观尺度上的非均匀性是导致疲劳分散性的主要原因之一，基于微观结构统计性表征结果建立的RVE模型同样也具有一定随机性。因此不同RVE模型对应的疲劳指示因子云图也不同。通过大量RVE模型计算得到的疲劳指示因子最大值数据可用极值理论进行分析以研究疲劳分散性以及微观结构的影响。

极值理论指出，独立同分布随机变量最大值序列的标准化分布，必然收敛于以下3种极值分布之一：Gumbel分布(Ⅰ型)、Fréchet分布(Ⅱ型)或Weibull分布(Ⅲ型)。这3种分布可以被统一到1个分布族中，即广义极值分布(generalized extreme value, GEV)。对于 N个极值 (y 1  , y 2  , … , y N  )，其累积分布函数 G(y)可表示为

式中：参数 μ、 b、 k分别为位置参数、尺度参数和形状参数。其中，形状参数 k决定了所属的分布类型以及统计特征。当 k =  0时，它表示Gumbel分布；当 k >  0时，它表示Fréchet分布；当 k <  0时，它表示Weibull分布。

对于形式最简单的Gumbel分布，位置参数 μ决定了分布的中心位置，它代表了最可能出现的极值水平。尺度参数 b决定了分布的离散程度或宽度， b越大，分布越扁平，极值的波动性越大。其对应的概率密度函数 P(y)为

将 N个极值进行升序排列，各极值对应的累积概率 P(y j  )近似为

将式(12)进行坐标变换以转换为线性关系，可以直观判断样本对当前分布函数的服从情况和对比不同样本之间的差异，即

RVE模型数量会显著影响疲劳指示因子极值样本的统计，为保证极值统计结果的可靠性，需要对足够数量的RVE模型进行数值模拟。Gu等 [21]的研究指出，随着RVE模型数量的增加，其极值分布的统计参数将逐渐收敛。因此，综合考虑计算成本与统计需求，每种微观结构生成100个RVE模型组成统计体积单元(statistical volume elements, SVEs)，用于获取可信的疲劳指示因子极值统计特征。

3.2　疲劳指示因子极值分布

经过疲劳升降法试验得到TA15钛合金光滑试件在应力比 R =  0.1下的应力升降图如图所示，可以计算出其常温疲劳极限为 634 MPa。为研究 FIP w 最大值统计特征能否反映实际的疲劳寿命分散性，选择了在疲劳极限以上的2个载荷下进行晶体塑性有限元模拟与实验验证，分别为 R =  0.1、峰值应力 S max   =  660 MPa和 R =  0.1、峰值应力 S max   =  720 MPa。经过循环加载模拟可知，在约20个循环后 FIP w 的增量已基本趋于稳定，材料进入稳定循环阶段。因此，后续分析均取第20个循环的 FIP w 作为研究对象。

模拟所得不同载荷下的 FIP w 最大值样本进行广义极值分布拟合的结果如图所示。 R =  0.1、 S max   =  660 MPa下 FIP w 最大值分布的形状参数 k =  0.36 >  0，表明该样本属于Fréchet型重尾分布。这一特征说明该载荷下TA15钛合金的微观变形响应呈现显著的极端值敏感性，即局部晶粒的应力/应变集中并非呈现温和的随机波动，而是具备较高概率产生远离平均水平的极大值。这意味着裂纹萌生更易由少数取向不利、局部变形剧烈的"危险晶粒"主导，而非整体平均响应决定，即使在较低载荷下也可能因为局部的极值点而发生早期断裂。而 R =  0.1、 S max   =  720 MPa下 FIP w 最大值分布的形状参数 k =  0.006 ≈  0，表明该样本更接近Gumbel分布，此时晶粒无论取向是否不利，普遍发生较大塑性变形。该载荷下的疲劳行为主要由宏观力学状态控制，微观结构的影响被弱化，分散性降低。

不同载荷 FIP w 最大值分布特征的区别最终表现在疲劳寿命的区别，在远离疲劳极限的高应力载荷时，疲劳寿命将会更低，但疲劳分散程度将会减小。对应载荷下的疲劳试验结果表4所示。 R =  0.1， S max   =  720 MPa下TA15钛合金拥有更低的疲劳寿命均值和变异系数，趋势与模拟结果一致。这说明晶体塑性本构模型和 FIP w 极值统计能够捕捉到疲劳分散性的载荷相关性。

表4　TA15光滑试件疲劳实验结果 Table 4 Fatigue test results for TA15 smooth specimens

Fréchet分布的概率密度函数难以通过坐标变换进行线性化，无法直观对比不同微观结构样本之间的极值差异。为研究晶粒尺寸、长宽比与织构对低应力载荷 R =  0.1、 S max   =  660 MPa下疲劳分散性的影响，进一步对 FIP w 取对数后进行广义极值分布拟合，发现得到形状参数 k =  −0.08 ≈  0，可近似视为Gumbel分布。概率密度如图所示，经线性化处理后对数 FIP w 的样本点与理论直线拟合良好，表明采用对数变换能够显著改善分布可对比性。因此，后续极值统计均基于对数 FIP w 的Gumbel分布假设。

4、结果与讨论

4.1　晶粒尺寸对疲劳分散性的影响

为了研究晶粒尺寸的影响，在TA15钛合金网篮组织 α相晶粒合理尺寸范围内 [29]，构建了平均晶粒尺寸分别为 2.2 μm、 3.2 μm(原始组织)和 4.2 μm的3组SVE模型，其余参数保持一致。各组模型和计算所得的对数 FIP w 极值概率分布如图所示，拟合参数如表5所示。

从Gumbel概率图中可以看出，随着平均晶粒尺寸的增加，位置参数 μ增大，拟合直线明显向右移动，即在相同的累积概率下，大晶粒模型对应的FIP值更高。根据 FIP w 的物理意义，较高的应变能耗散意味着局部损伤积累更快，疲劳裂纹萌生寿命更短。这种晶粒尺寸效应在相关文献中也有报道 [30]，可用经典Hall–Petch关系进行解释：晶粒尺寸增大导致晶界强化作用减弱，位错在晶粒内部的平均自由程增加，更容易在晶界处发生塞积，从而引起更严重的局部塑性变形和能量耗散。同时晶粒尺寸的增大也导致尺度参数 b增大。这表明晶粒尺寸的增大不仅会降低疲劳寿命，还会显著增加疲劳性能的分散性。因此，细化晶粒不仅有助于提高TA15钛合金的疲劳性能，对降低疲劳寿命的分散性也具有重要意义。

表5　不同晶粒长轴尺寸下 FIP w 极值分布统计参数 Table 5 Statistical parameters of  FIP w extreme value distribution under different grain long axis dimensions

4.2　晶粒长宽比对疲劳分散性的影响

针对钛合金中常见的等轴晶粒和细长针状晶粒，构建了晶粒平均长宽比分别为1、4.2和10的3组SVE模型，以探究晶粒长宽比对疲劳行为的影响。各组模型和计算所得的对数 FIP w 极值概率分布如图所示，拟合参数如表6所示。

与晶粒尺寸的显著影响不同，不同晶粒长宽比下的 FIP w 极值概率分布曲线表现出较高程度的重合。相比于等轴晶粒，细长晶粒的 μ和 b都更小，说明晶粒的细化可以在一定程度上降低 FIP w 极值，同时减小分散性。但细长晶之间的区别并不大，可以认为当前的载荷条件与微观结构配置下，TA15钛合金的疲劳裂纹萌生行为及其分散性对细长晶的长宽比的变化并不敏感。这一现象在Lakshmanan等 [31]的研究中也有出现，该研究表明，大多数条件下等轴晶表现出更高的疲劳驱动力，且在特定织构下晶粒长宽比对疲劳指示因子极值概率分布的影响有限。

造成这一现象的原因除了有限元模型尺寸的限制，也可以从微观滑移机制进行解释。虽然细长的晶粒形状改变了晶界的几何分布，但在晶体塑性变形中，滑移系的激活主要受晶粒取向和局部应力状态控制，而非单纯的几何形貌 [32]。首先，当晶粒的平均等效尺寸保持相对恒定时，单纯拉长晶粒并未显著改变位错在晶粒内部运动的平均自由程的量级，因此未产生显著的强化或软化效应。其次，对于 α-Ti这类密排六方金属，其塑性变形主要由柱面滑移主导。在多晶体变形过程中，取向有利的"软"晶粒往往决定了 FIP w 的最大值。这意味着，只要最危险晶粒的取向和尺寸处于相似水平，其几何形状的拉长或扁平化对局部最大塑性耗散能的积累影响有限。

表6　不同长宽比下 FIP w 极值分布统计参数 Table 6 Statistical parameters of  FIP w extreme value distribution under different aspect ratios

4.3　晶体织构对疲劳分散性的影响

为了揭示织构对疲劳性能的影响，将本研究中TA15钛合金的原始织构与随机织构进行对比分析。随机织构的生成是为每个晶粒赋予一个完全随机的、等概率的取向，从而在宏观上实现各向同性的理想状态。2组模型计算所得对数 FIP w 极值统计结果如图所示，拟合参数如表7所示。

对比发现，TA15原始织构对应的 FIP w 数据点和拟合直线整体位于随机织构的左侧，且尺度参数 b更小。这表明TA15当前的织构相较于随机织构而言，更不易诱发疲劳裂纹萌生，且表现出更小的疲劳分散性。说明所用TA15钛合金对织构的调控是有利于工程使用的。

同时，对绝大部分SVEs获取的对数 FIP w 极值进行Gumbel分布拟合的决定系数 R 2都大于0.95，说明对数 FIP w 极值服从Gumbel的假设较为合理。而随机织构下的决定系数 R 2小于0.90，其概率分布的尾部相较于理论直线偏移较大，说明织构对 FIP w 极值的分布类型也会有一定影响。

表7　不同织构下 FIP w 极值分布统计参数 Table 7 Statistical parameters of  FIP w extreme value distribution under textures

5、总结

通过疲劳指示因子极值的统计分析，在接近疲劳极限的载荷 R =  0.1、 S max   =  660 MPa下，TA15钛合金 FIP w 最大值服从Fréchet型重尾分布，表明疲劳行为受少数"危险晶粒"主导。经对数变换后可近似为Gumbel分布，适用于直观比较不同微观结构的疲劳分散性差异。在远离疲劳极限的载荷 R =  0.1、 S max   =  720 MPa下，TA15钛合金 FIP w 最大值服从Gumbel分布，疲劳寿命更低，但疲劳分散程度也更小。

晶粒尺寸是影响疲劳分散性的关键因素。随着平均晶粒尺寸增大， FIP w 最大值显著上升，疲劳分散性加剧，符合Hall–Petch关系与局部塑性集中机制。

细长晶粒相较于等轴晶粒的TA15钛合金具有更高的疲劳性能和更低的分散性。但在本文研究的载荷与组织配置下，细长晶长宽比变化未引起 FIP w 极值与分散性的显著改变，与有限元模型尺寸限制和微观变形机制有一定的关系。

晶体织构对疲劳性能具有重要调控作用。TA15的给定织构相较于随机织构表现出更低的 FIP w 极值和更小的分散性，说明现有织构状态有利于提升材料的疲劳抗性与可靠性。

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（注，原文标题：微观结构对TA15钛合金疲劳分散性影响研究_胡宏瑞）